Что лучше в случае протечки - ремонт или замена металлической водосточной системы у дома?

Выбор зависит от толщины вашего кошелька. У меня он довольно тощий, поэтому такие мелкие проблемы решаю сам. Я бы снял весь желоб — промыл, зачистил от ржавчины, загрунтовал, покрасил. Заменил бы резиновые уплотнители на стыках частей.
Ну и, конечно, чистить желоб нужно хотя бы раз в год. Иначе вода в нем будет застаиваться и он не будет просыхать. Отсюда проблемы с ржавчиной и протеканием.

Уважаемая Мия! Несколько месяцев назад на этом сайте был вопрос-ответ, крайне подходящий для вашей проблемы.
Посмотрите ссылку Чем временно закрыть щели в старом рубероиде на крыше?
Именно изделие, которое там описывается, закроет в прямом и переносном смысле вашу проблему.
У меня к ВАМ просьба — когда будете восстанавливать водосточную систему предложенным методом, сделайте несколько позиционных фотографий и мы тут же, на этом посте, выложим ваши фотографии.