Вырастут ли ягоды годжи и барбарис на Урале в Свердловской области?

Ягоды Годжи это паслен, поэтому у нас паслен зимует, хотя температура понижается до -32.
Барбарисы хорошо (прилично) зимуют при -20-25 и при понижении температуры до  -32-35, но 10-15 дней. Главное это наличие снега, если холодно можно засыпать снегом кусты. 
И скорее всего  у Вас будут погибать зимой: цельнокрайний, продолговатый, шаровидноплодный (это виды из средней Азиии).
Барбарис амурский будет подмерзать, но за лето восстановиться. 

Барбарис обыкновенный хорош, но он огромный до 3 м, зато ягоды вкусные и много.
Albo-variegata Кустарник высотой до 1,5 м. Каждый лист с белыми пятнами и полосками. На этом фоне контрастно выделяются красные плоды. 
Aureo-marginata. Быстрорастущий кустарник, листья которого с золотистой каймой по краю и пятнами на поверхности. Очень красив также в период цветения и плодоношения, а необычный цвет листвы может вполне заменить цветение

Барбарис оттавский, очень красив и хорош. Его самые устойчивые формы Аурикома и Суперба.

Барбарис Тунберга, но у него обмерзают кончики побегов, которые не успели полностью одревеснеть. Придется обрезать каждую весну. У этого барбариса у Вас смогут расти только простые формы золотистая или краснолистная.

Если зимой много снега это хорошо.
Экспериментировать с другими не надо, будете огорчаться весной, после их гибели. 

Думаю, вырастут. Ваш сосед, питомник Миролеевой из Артемовского предлагает 3 сорта годжи.
Вот цитата из их каталога:
" Годжи -и строго ботанически — дереза обыкновенная, именно ее выращивает наш питомник. Очень часто в России продают саженцы дерезы китайской, которая на большей территории вообще не зимует.
В нашем питомнике выращивается 6 сортов дерезы обыкновенной. В этом году предлагаем Вам 3 из них. Хочется обратить внимание на то, что эта уникальная культура имеет растянуты срок плодоношения: первые ягодки появляются уже в начале июля месяца, массовые сборы урожая проводятся в августе-октябре.
Основные приемы агротехники: размер посадочной ямы 50х50 см, дренаж 15 см- щебень, битый кирпич, на каждую посадочную яму нужно положить 80 граммов суперфосфота и 200 г печной золы.
Годжи дает поросль, поэтому рекомендуем ограничивать ее разрастание в стороны пластиковыми, металлическими или из другого материала кольцами, высотой не менее 20 см и диаметром 1 метр, тогда она бдет формировать очень декоративный, плотный куст.
В течении сезона рекомендуем сделать только две подкормки: первая в начале мая, 30 граммов мочевины на 1 ведро, вторая — в середине июня 40 граммов нитроаммофоски растворить в одном ведре воды. В середине октября внести в приствольный круг 100 граммов золы.
Обильно поливать можно только до начала июня месяца, в конце октября нужно все побеги подрезать на высоте 1,0 — 1,3 метра, чтобы растение хорошо подготовилось к зиме. Годжи хорошо зимует в наших условиях под укрытием из опила слоем 15-20 сантиметров."

А вот и сорта: Биг Берри, Корен Биг, Свит Берри.
Поскольку этот питомник позиционирует себя, как самый северный на Урале, то в Свердловске годжи точно будет расти и зимовать.