Не навредит ли участку углубление ручья?

Выскажу свои соображения. Если у Вас участок сырой, на нем долго стоит вода, то углубление ручья, на мой взгляд, ему пойдет лишь на пользу. Более того, я бы дополнительно прокопала дренажные канавы для отвода излишков воды с участка в этот самый ручей. У нас много лет назад был участок в низине, на торфянике — так там все старались по меже проложить канавы, чтобы вода в них уходила. А у Вас, получается, с одной стороны такое «дренажное сооружение» уже имеется. Это хорошо, мне думается.
По поводу опасений, что вырубленные деревья дадут усадку земли — не вполне понятно. Деревья на Вашем берегу растут или на соседском? И планируется углубление русла или его расширение? Или то и другое сразу?
Берега ручья, конечно, желательно укрепить, чтобы вода их не размывала. Это можно сделать разными способами, и вырубать насаждения, может быть, вовсе не обязательно (я рассуждаю абстрактно, поскольку Вашей ситуации не знаю, а понять детали из краткого описания сложно).
Насчет запруды — почему бы и нет… Только, с учетом сказанного Вами о весенней сырости, я бы предположила, что совсем превращать ручей в пруд — неудачная идея (но возможно, это и не планируется?). Нужно оставлять возможность регулировать уровень воды, сбрасывая излишки (во время таяния снега и после сильных дождей они наверняка будут). И тогда, как мне видится, от этой затеи будут одни лишь плюсы

Если уровень воды в ручье в результате установки запруды повысится, то повысится и уровень грунтовых вод на вашем участке. Это будет совсем плохо.
Поливать огород конечно надо, но возможно есть другие варианты. Например, сделать накопительную емкость и небольшим насосом качать в нее воду из ручья.