Если в часть дома врезать дверь, а помещение назвать сараем или хоз. постройкой, то отступ от границы соседнего участка можно сократить до одного метра?

Дом в 3 метрах, ширина сарая 2 м, значит расстояние до забора может быть 1 м. Но, по правилам, все осадки должны оставаться НА СВОЁМ участке и не попадать к соседям.

Правда на вашем фото общая крыша, так что это не сарай, а именно врезанная дверь. У меня отдельная крыша на сарае, а стена с домом общая. И потом — край считается по краю крыши, а на фото он практически на заборе висит. 1 метр от края крыши, а не от стены!

На мой взгляд, это ни разу не сарай, а дом)
Обратимся к определениям:
Дом — это сооружение, имеющее стены, окна, крышу и помещения внутри, в котором живут или работают люди.
САРАЙ — САРАЙ, сарая, муж. (тюрк. saraj). Крытое нежилое помещение для хранения различного имущества. Сарай для дров. Каретный сарай.

В здании может быть сколько угодно дверей и окон, но поскольку все помещения объединены общей крышей и общей наружной стеной, это одно строение. В данном случае — жилой дом. Что именно происходит в отдельных помещениях единого строения роли не играет.
Просто надо обращаться в суд.