Подскажите, как называется дерево?

А я уже нашла, это зизифус!

Да, это субтропическое плодовое дерево — зизифус европейский, унаби (Ziziphus jujuba) из семейства Крушиновых (Rhamnaceae). Его еще называют европейской или французской грудной ягодой. На ваших фото видны его целебные вкусные плоды — костянки. По содержанию сухих веществ (23-30%) унаби превосходит многие субтропические культуры: хурму, инжир, фейхоа. Основное количество сухих веществ представлено сахарами (21-25%). Плоды содержат массу витаминов. По последним данным они стабилизируют кровяное давление.
Вы можете семена (косточки внутри плодов) посеять. Для их прорастания не нужна стратификация — действие пониженных температур. Они прорастают хорошо при температуре +20+30 град С. При весеннем посеве в апреле-мае (глубина заделки семян 4-5 см) нужна предпосевная подготовка — стратификация во влажном песке при температуре +5 град в течение 2-3 месяцев. Семена сохраняют жизнеспособность в течение 3 лет.