Какие работы нужно срочно провести в саду, если впервые за сезон попадаешь туда только в начале июня?

Уже июнь. Время пролетело. И с чего все таки Вы начали? Может с окоса сорняков?
А зачем хотели обрезать ягодники?

Юлия, я предложу вам опыт нашей Оксаны Сусловой (комментарий-ответ):

OksanaZayceva,
Оксана Суслова,
Espoo,
21 января 2021 г.…

Мой сад пока молодой, 5 годков ему, как дочкеНаходится он на севере в Финляндии. Зимы ужасные, сплошные оттепели, сыро, гнило и сопливо у нас в общем.

Я пока что пришла к следующей схеме:
Весной до роспуска почек, но при температуре к +10 градусам (где то в конце марта начале апреля) обрабатываю ПРЕПАРАТОМ 30 ПЛЮС Страшная смесь для вредных насекомых, которые начинают просыпаться и выползать из земли и вверх по стволу

По зеленому листу его нельзя применять. За пару лет вывела галовых клещей — эта пакость поднималась по терносливе и устраивала галлы в листочках. Плодожорка практически уничтожена, вот только паутинный клещ не реагирует, скорее всего просыпается позже.

Когда листики распустились, и если есть настоятельная потребность обработать (а так же вечно зеленые товарищи и земляника-клубника) я обрабатываю смесью фитоверма и йода (не аптечного конечно, а садового). Клубничка чистая стала после таких обработок. Через пару недель все обрабатываю фитоспорином и дальше раз в месяц фитоспорином.

Некоторые вещи только руками снимать, малиновую мошку никак не вывести, обрабатывать по цветам вредно, и еще пакость какая-то у меня в стволах малины селится, тут уже только вырезать все эти шишки и выбрасывать (жечь у нас нельзя).

В процессе плодоношения летом никак не обрабатываю окромя фитоспорина, только с паутинычем борюсь, но явно проигрываю. Биопрепараты не сильно мощные и привыкают к ним быстро. А вот после сбора ягод обрабатываю системником типа актары или алиота. Популяция паутиныча сокращается, но не исчезает, видимо откуда-то еще ползет тварь.

Дальше уже в октябре перед «сезоном дождей» все обрабатываю бордоской жидкостью (медью), деревья крашу прямо по покрытию медью. Так или иначе, элемент медь нужен растюхам, включен в комплексные удобрения и отдельно сульфат меди предлагается в качестве удобрения. Так что 1 раз за сезон без фанатизма можно и вполне безвредно. Зато избавляет от лишайника, мхов, грибов и прочей северной флоры

Это в общих чертах. А так нужно наблюдать, кто вам сад портит, и принимать уже целенаправленные меры.

Что же касается подкормок сада, то да, мульчирование перепревшим навозом, комплексная минералка для плодового сада лишними не будут   Чем здоровее растения, тем лучше и больше урожай.

Присматривайтесь, слушайте свой сад

Юлия, надо бы всё оценить сейчас — что у вас сейчас на участке, есть ли вредители, пораженные листья и т.д. Плюс что за погода в момент приезда.

Если есть вредители на декоративных кустарниках — можно обрабатывать химией в любое время — вам же не есть их. А вот что касается плодовых кустарников и деревьев — надо увидеть, есть ли болезнь или вредитель — и действовать, как учитель с учениками — индивидуально, с учётом всех нюансов, бережно и с прицелом на будущее.

Что касается обрезки, то уже поздно, не нужно рисковать здоровьем кустарников. Санитарная обрезка возможна в любое время, но тут дело касается только высохших, поломанных, поврежденных веток, а формирующую обрезку сейчас проводить уже нельзя.