Как бороться с этим растением?

Я его просто пропалываю. У меня он не сильно разрастается.

Это, если я не заблуждаюсь, вероника нитевидная, или нитчатая, или ползучая. Бороться — как с любым сорняком: выпалывать (большие куртины снимаются «пластом»), подавлять мульчированием… Если уж совсем радикально — использовать гербициды.
Плохая новость: если остался хотя бы маленький кусочек, растение довольно быстро восстановится.
Хорошая новость: по моим наблюдениям, это растение агрессивно лишь в том случае, если попадает в благоприятные для себя условия. Например, Александра (/profile/MamaRowana/) рассказывала, как у нее эта «нежная» растюшка расправилась со своими соседями по цветнику. А у меня она выживает лишь при особой заботе и внимании: то ее корневищные сорняки забили, то чабрец с очитками «затоптали», то она от засухи сама зачахла… А мне ее цветочки нравятся, и я совсем не против, чтобы она под кустами расстилалась))
Но у Вас, видимо, веронике хорошо… Поэтому — прополка или гербициды, полагаю.

У меня такая красотка под грушами поселилась. Интересно, курам ее можно? Не ядовитая?

Это может быть мокрица, мы у бабушки на даче её пропалывали 2-3 раза в неделю