Нужно ли обить сундук ДВП, перед тем как обтянуть его кожей?

А зачем? Он же и так деревянный. Хотя, все зависит от того, как вы собираетесь его использовать и от качества исходных материалов. Если вы планируете на нем сидеть, то лучше сделать мягкую крышку-сидушку, типа банкетки. Если бы я задалась целью обтянуть сундук кожей, я бы больше беспокоилась о проблемных местах, где кожа (кстати, какая? искусственная? натуральная?) может порваться и протереться: то есть по углам, в местах сгибов. Как вариант, я бы приклеила кожу в этих местах или вообще подложила бы еще ткань под кожу. У бабушки было несколько старых сундуков, один из них был даже обклеен каким-то материалом, на кожу смахивающим, но не кожей. Так он был просто сколочен, и ничем больше не обит.

В ДВП очень плохо вбиваются скобки степлера. Если стенки сундука не ровные, можно под обивочный материал разместить подложку, которая используется при укладке ламината. Она тоненькая и достаточно мягкая.

Не нужно! Прямо так, по дереву, и обтягивайте.

Достойная и интересная идея. Конструкция должна исключать острые грани, на которых современные кожзаменители протрутся «на раз». Все сочленения должны быть максимально закруглены. ДВП вам тут не помощник. А вот вспененная подложка, о которой говорила Ирина, будет в самый раз. Надо продумать, чем будете крепить кожу в середине поверхностей. Пуговицы ставить? И будете ли перестегивать ремешком или тесьмой. Пришлите потом фото, пожалуйста.