У отцветшей домашней гортензии деревенеет стебель и подсыхают листья. Как с ней поступить?

По всей видимости это гортензия крупнолистная. Одревеснение нижней части веток присуще ей от природы.
По хорошему ей место на улице, особенно если ваши зимние температуры не опускаются ниже -20 С, иначе утепляют. А так некоторые выращивают в горшках на улице или в зимнем саду. Можете пересадить сейчас в чуть больший горшок, и оставить дома, подальше от батарей. В ОГ гортензию пересаживают осенью, или ранней весной.

По-хорошему ее надо высадить в открытый грунт. Если у вас нет такой возможности, то определите ее в надежные руки знакомой дачницы. Вы не указали регион проживания, поэтому, перестраховываясь, советую ее высадить с конца апреля. В южном регионе можно и раньше. Мне в прошлом году на день рождения дочь подарила роскошную гортензию в горшке. После цветения я ее обрезала и высадила осенью в открытый грунт, основание замульчировала сухими листьями. Еще не проводила ревизию: как она перезимовала. Да и не только в 1-й год посадки, но и потом постоянно её надо обеспечить регулярным поливом.