На деревьях появляются большие чёрные пятна, а на следующий год деревья погибают. Можно ли это вылечить?

Это черный рак. Пятна могут появляться везде. Но ваш случай особо опасный.
Вот описание черного рака. Прикиньте к своим деревьям.
Пятна сначала не черные, а буро-фиолетовые, они немного вдавлены в кору. Разрастаются в виде кругов, еще есть название концентрически. Лишь потом эти пятна чернеют, на них появляются трещины. Выглядит, словно головешка от костра — цвет похожий. Если приглядеться, то на этой черноте можно увидеть тоже черные бугорочки. В них (их называют пикнидами) живет возбудитель болезни. А кора там, где пятна, начинает взъерошиваться, бугриться, словно кожа у гуся. Пятна растут и охватывают полностью ствол и ветви.
Если черный рак на листьях, то пятна имеют другой цвет. Они коричневые с красноватым оттенком. Листья просто засыхают и отваливаются. Ставшая не живой ткань листовой пластинки тоже вся в концентрических кругах. Это когда не один круг разрастается, а новые круги, а центр один.
Яблоки тоже сначала покрываются пятнами, а потом просто становятся блестящими черными, как скол уголька. Цветы просто сморщатся и засохнут.
Это болезнь деревьев ослабленных, у которых еще и кора повреждена. А сильные деревья порой сами свои ранки затягивают.
Как лечить. Если поражения занимают огромную площадь, то проще спилить и сжечь. Если это только начало, если можно еще срезать ножом всю больную ткань до здоровой, то так и делать. А рану дезинфицировать, можно медным купоросом (брать 20 граммов на один литр воды) и замазать садовым варом, забинтовать. Или использовать лакирующий антисептик.
И опрыскивать любыми фунгицидами, которые применяют и при парше. Но это только сдерживает вредителя.
А чтобы не допускать, нужно срезать все больные ветви. И обязательно замазывать варом места срезов.

Против раков деревьев также эффективны антибиотики. Поищите в интернете, мне попадалась статья на эту тему.
Теперь так: рак никогда не нападает на сильное здоровое дерево со включённым иммунитетом. Судя по лишайникам (кстати, сами по себе они вполне безопасны), у вас большая влажность и близко грунтовка. А деревья вряд ли сажались на холмы. Значит, у них сильно страдает корневая система, отсюда все проблемы. Первое: максимально провоцировать рост корней. Сыпьте, не жалея, перегной тачками, только вплотную к стволам не кидайте — могут зимой в оттепели подопреть. Можно даже прошлогодний навоз, по периметру кроны. Сверху — толстый слой соломы, чтобы сорняки не росли. Можно подсаживать однолетний люпин в качестве сидерата — люпин для яблони самый лучший друг и товарищ. Добивайтесь ежегодного прироста не менее чем на полметра. Второе: максимально сухая кора. Каждую осень и по мере надобности весну счищайте лишайник. Никакого садового вара, особенно по свежим срезам! Тепло, влажно, нет доступа свежего воздуха — гарантированный рассадник рака. Если срезы большие, мажьте раннетом, краской или глиной с коровяком пополам, но только по просохшему с недельку срезу. Срезы обязательно делайте острым инструментом и заглаживайте разлохматившуюся кору ножом (резаные клетки луба делятся намного быстрее, чем рваные). Мелкие срезы прекрасно зарастают без всякого вмешательства краски и замазки. Давайте деревьям любые внекорневые подкормки по листьям с добавкой антистрессов — эпина или любого другого аналога. Новые деревья сажайте только на холмы, минимум полметра в высоту и два метра в ширину, а лучше в валы метр на три, если есть лишние мужские руки, способные эти валы навалить. Как-то так…