Подскажите, пожалуйста, что это за дерево

Похоже на хурму.

Добрый день! Это у вас растет хурма (Diospyros), и похоже, что х. кавказская (D. lotus) из семейства Эбеновых (Ebenaceae). Несмотря на более распространенные в культуре сорта х. восточной (D. kaki), хурма кавказская тоже считается субтропической плодовой культурой. Зрелые плоды у нее мелкие ягоды, диаметром 8-16 мм, также вначале вяжущие, а потом после морозца и некоторого брожения становятся сладкими часто прямо на дереве. Их употребляют в пищу в свежем и сушеном виде, используют для получения спирта, а также в кулинарии. Они очень богаты сахарами (в сушеных плодах до 40%) и по питательности не утупают финикам.
В диком сотоянии она растет на Гиссарском и Дарвазском хребтах в Средней Азии и в Талыше на Кавказе. У нас в Крыму одичавшие растения встречаются в районе Большой Ялты, а отдельные экземпляры в поселках городского типа, в том числе она растет и в нашей любимой Никите. Растения двудомные.