Какое название у кактуса? И как его пересадить?

Похоже, что у вас один из видов эхинопсиса. Пересаживать пока не нужно, пусть зацветет, на самом крупном кактусе есть бутон.
А затем можете пересаживать растение, почва (покупная для кактусов). Для вашего экземпляра можно выбрать горшок пошире, а высоту взять поменьше. Если хотите, то разделите на несколько горшочков ваше семейство.

Думаю, что это гибридный эхинопсис — результат многолетнего бессистемного отбора и случайной гибридизации. Коротко-цилиндрическое растение несколько расширяющееся кверху. Ребер у самого большого 15? Колючки твердые игловидные по 5-10 в каждой ареоле? На стебле несколько отростков-деток. В отличие от большинства кактусов любят питательную земляную смесь, в которую можно даже добавить перегной. Сажать можно с детками, получится семейка, можно что-то отделить. Земля может быть более тяжелой, а горшок более просторным. И даже частый и обильный полив в активный период ( не зимой) им не повредит. Иногда полить можно и зимой, температуру зимой снизить чуток, но не ниже 15 градусов. Летом, даже если не жарко, можно держать на открытом воздухе (балкон, веранда). Только убирать с палящего солнца, особенно сейчас, весной.

Есть такой же кактус возрастом явно свыше 15-ти лет. Не цветет, но и корневая у него какая-то мелкая (вообще, у многих кактусов, как я понял, такая). Длинные горшки по ширине — оптимально. И неглубокие (не глубже 15 см). В идеале же, конечно, лучше разделить и рассадить, да.