Могут ли перекрытия чердака рухнуть?

Скрипят, скорее всего, доски пола. В тех условиях, которые Вы описали, это вполне закономерное и естественное явление, и оно само по себе не говорит о критическом износе конструкции.
На мой взгляд, делать прогнозы по имеющимся сведениям проблематично. Без оценки физического состояния перекрытий ответить на Ваш вопрос однозначно вряд ли удастся. Если есть доступ к перекрытиям, попробуйте хотя бы примерно оценить их состояние: есть ли на бревне видимые повреждения, насколько они значительны, каков их характер (трещины, следы древоточцев, разрушение древесины и т.п.).
Если доступа нет… Можно, например, попытаться убедить родственников перестелить полы на чердаке, чтобы избавиться от скрипа. Возможно, это предложение не вызовет у них такого протеста, как идея пригласить эксперта для оценки) А в процессе ремонтных работ появится возможность визуально оценить состояние перекрытий — тогда и можно будет делать выводы об их состоянии и перспективах.

Уважаемая Ксения! Меня мои коллеги засмеяли бы, если я взялся вот так, по сумбурному любительскому письму, давать прогнозы устойчивости деревянной конструкции.
Давайте сделаем так — вы сфотографируете весь дом сначала снаружи, а потом по возможности изнутри. Обратите внимание на стыковочные узлы перекрытия и стен. Фотографии выложите вот на этом же посте. По результатам вашей фотосессии будем делать выводы.
Хорошо бы узнать размер сечения тех бревен, которые использованы для перекрытий.
Вдогонку два замечания:
— я не вижу его величества НАГРУЗКИ, которая бы воздействовала на перекрытия. Ну не двухспальная же кровать разрушит пролетное бревно с вековой положительной эксплуатационной историей. Вы же не концертный рояль (массой до 500 кг) затаскиваете на чердак.
— то, что написала уважаемая Марина, просто безупречно технически грамотно.
Давайте на праздниках дорешаем Вашу проблему.

Доброе утро Ксения! Фотосессия — исчерпывающая, спасибо.
Я увидел КРЕПКУЮ конструкцию, которая совсем не «дышит на ладан». Ваши опасения, что "… Могут ли эти перекрытия попросту рухнуть?..." Со 100% уверенностью отвечаю — НЕ МОГУТ.
Бревенчатая конструкция мощная, без признаков гнили и грибков — не вызывает нареканий.
Осталось разобраться со «скрипом». Признаться, это диалектическое единство — сухая древесина и скрип. Была бы мокрая — не скрипела. Согласен с Мариной — можно перестелить пол. Только вопрос — ЧЕМ? Скажем ламинатом на вспененной подложке. При этом скрип сохранится, но негативное акустическое его воздействие заметно снизится.
И еще о скрипе…
Представьте, многие его специально ищут…
А где?
В деревянных домах издревле делая ступеньки на второй этаж, одну ступеньку выполняли скрипящей для того, чтобы услышать приход НЕЗВАНОГО гостя (вора).

Добрый день Ксения! Если надумаете перестилать пол, просьба сделать этапные фотографии и разместить вот на этом же посте. Будет полезно для многих наших читателей.