На стволах старого куста черноплодной рябины белые пятна. Можно ли вылечить куст?

Ни в коем случае не выкорчевывайте куст, если есть желание его оставить.
Омолодите куст полностью, как раз самое время. И не нужно будет бороться с белыми пятнами, которые, вероятно, появились уже на мертвой древесине.
В зиму 2014-2015 годов я провела подобную операцию. Обрезала все ветви на высоте 1,5 метра. У меня живая 50 метровая изгородь. Высоту обрезки можно сделать и значительно ниже, по своему вкусу.
Пришлось сделать координальную обрезку по нескольким причинам.
1. Хотелось снизить высоту, т.к. рябина стала затенять огород, кусты выросли под 2,5 — 3 метра.
2. Под тяжестью ягод ветви стали заваливаться на сетку-рабицу, проминая ее, свешиваясь на территорию соседнего участка — непорядок.
3. Кусты внизу оголились, все молодые побеги были наверху и живая изгородь стала зиять дырами.
В первый теплый сезон после обрезки появились новые молодые побеги, а оставшиеся после обрезки старые стволы обросли веточками. В этом, 2016 году изгородь стала плотной, цвела и плодоносила. Опять у меня появилась полноценная живая изгородь.
Кронировав куст, не забудьте вырезать все сухие ветви.
Еще я бы посоветовала основание кустов после обрезки присыпать землей, а еще лучше компостом, торфом, перепревшим навозом, любым видом мульчирующего материала. По весне рассыпать вокруг куста мочевину, или стимулировать рост побегов любым имеющимся у Вас источником азота.
Обрезкой Вы омолодите куст, он быстро восстановится и через год снова начнет плодоносить.
Всего наилучшего!

Белые образования на черноплодной — это грибы, питающиеся отмершей древесиной. В старых кустах это не редкость. Особенно в загущенных, как у вас и растущих в тени.
Если бы санитарная и омолаживающая обрезка производилась бы вовремя и правильно, без оставления пеньков, то такого не было б. Впрочем, эти грибы не так опасны, как трутовики и весь куст не угробят. Но грибы на дереве / кусте — это плохо.