Подскажите название пальмы

Похожа на финиковую… но, приболевшую)).

Да, это финиковая пальма. И, возможно, вы пересушили однажды почву. После этого листья растут ослабленными и сами не в состоянии держаться вертикально. Попробуйте добавить специального грунта для пальм (наше желание посадить все в богатую перегноем землю тут как раз играет обратную роль — пальме плохо) и отодвинуть её от батареи. Вот смотрите, она у вас и в глубине комнаты, и у батареи. А пальма любит свет и не переносит слишком сухого воздуха.
Летом хорошо было почаще подкармливать пальму органикой и минеральными удобрениями, сейчас попробуйте раз в 2 недели давать либо настой птичьего помета, но если для вас с ним возни многовато, то комплексное удобрение специально для пальм…
5 лет — для пальмы срок небольшой (правда, на вид вашей пальме больше лет) — при хорошем уходе она вас еще порадует своим видом.
Только дайте ей свет, подкормите, не забудьте про дренаж, опрыскивайте листья, и воду применяйте только отстоянную и не жесткую.