Что это за растение и как за ним ухаживать?

Кордилина верхушечная.

Да, это у вас кордилина верхушечная (Cordyline terminalis), причем ее пестролистный популярный сорт 'Rededge'. В культуре она не прихотлива, но ей нужен достаток света, т.к. при его недостатке она вытягивается (как у вас), и возникает желание ее обрезать. Но это должна быть не просто обрезка, а черенкование, и вы должны понимать, что со старым растением вы прощаетесь (но не выбрасывайте его, т.к. иногда просыпаются на стебле спящие почки и начинается рост новых побегов), но получаете несколько новых, молодых.
Черенки должны быть полуодревесневшими. Стеблевые черенки режут длиной 6-8 см, с 3-4 листьями (в нижней части можно пробовать и кусочки без листьев), срезы обрабатывают (например, белой садовой антисептической краской, или древесным углем, или, наконец, зеленкой). Черенкование проводят при темепературе +28 град С в песке. Укоренение происходит в течение 3-4 недель. Потом их высаживают в отдельные горшки с дренажом и почвенным субстратом, состоящим из смеси листовой, дерновой и перегнойной земли, торфа, песка, взятых в равных частях.