Можно ли под каркасный дом установить сваи или подвести фундамент?

Признаться, не понял, что вы в данном случае подразумеваете  под словом сваи. Бетонные или винтовые. И то, и другое непросто установить в условиях рядом стоящего на домкратах здания.
Считаю, что разумно поставить уже существующий каркасник на ленточный фундамент Каркасник по своей невеликой массе очень хорошо на него ляжет. Арендуйте на месяц несколько мощных домкратов, на которых выставите всю конструкцию. На какую высоту?
Если вы не гонитесь за высоким цоколем, то будет достаточно поднять каркасник так, чтобы можно было убрать имеющиеся блоки.
Очень основательно продумайте технику безопасности.Надо крепко рассчитать, как будете ставить  фундамент под центральные опорный точки дома. Тут самодеятельности быть не может никакой, строгое следование проекту по замене фундамента. Подготовка такого документа, пусть в самом упрощенном виде, позволит вам представить все этапы работ и соотнести свои силы с серьезностью задачи. Будьте осторожны. Подняв домину на домкратах, вы запасли потенциальную энергию, которая при неумелой работе может разрядится совсем не в ту сторону, которую вы ожидаете.