У тридцатилетней яблони стали сохнуть ветки и мельчает листва. Можно ли спасти дерево?

А вы делали омолаживающую обрезку? Попробуйте. А еще обратите внимание, нет ли на срезе веток черной сердцевины. Это может быть поражение грибом трутовиком. Если такое есть, то режьте без сожаления до здоровой светлой древесины. После обрезки на многолетнюю древесину срез нужно хорошенько закрасить или замазать садовым варом. 
Еще стоит попробовать хорошенько подкормить дерево. Сделать это можно так.
Либо сделать прокопать на штык лопаты в ширину и глубину канавку по периметру кроны дерева, заложить в нее питательную смесь в виде компоста, навоза, минеральных подкормок и закрыть  сверху вынутым грунтом. Либо по периметру кроны вашей яблони садовым буром сделать довольно глубокие шурфы, которые тоже заполнить питательной смесью. Кстати, эти шурфы модно прикрыть крышками и летом проводить в них полив вашего дерева.

Татьяна, вы пишете, что у соседей та же ситуация. Возможно, высоко поднялись грунтовые воды.  При избыточном увлажнении воздух из почвы вытесняется. Корневые волоски, с помощью которых плодовое дерево получает воду и питание из почвы, при слабом притоке воздуха (слабой аэрации), лишенные доступа кислорода, задыхаются и уже через трое суток начинают отмирать. Может быть, деревья подмёрзли зимой, и крахмал, находящийся в клетках древесины и коры, превратился в камедь. Эта густая масса коричневого цвета забивает сосуды в древесине. Посмотрите на срезе веток — нет коричневой древесины? Питательных веществ, которые оказались в почках и около них, хватило, чтобы они распустились и даже зацвели, а дальше притока новых  питательных веществ не было. Поэтому они сразу после цветения или в течение лета постепенно засохли.
 Не видя самого дерева, что – то конкретно сказать нельзя. Можно только предположить. Послушайте совет Людмилы, попробуйте омолодить дерево обрезкой. Если трутовика нет, то может быть проблема с вредителями. Что бы проверить, необходимо очистить все толстые ветки и сам ствол от старой, отмершей коры, под которой селятся тысячи различных  жучков, бабочек, мотыльков, гусениц.. Хорошо очищать куском старой сетки-рабицы. Очистить нужно всю кору  скелетные ветки тоже. Да и,  освобождая яблоню от старой коры, мы, тем самым, даём ей (яблоне) возможность нормально дышать 

Присоединюсь данным рекомендациям. Если дерево здоровое, т.е. не пораженное, сделайте его омоложение и не бойтесь сильной обрезки, в будущем это позволит сформировать новый скелет кроны. И проведите мероприятия по удобрению почвы под деревом в радиусе 2,5 метров.