Слива покрывается грибком, трескается кора на стволе. Как спасти дерево?

Похоже, проблем со сливой у Вас достаточно. Начнем с тли: обычно она селится на растениях, перекормленных азотными удобрениями. В этом случае листья становятся особенно нежными, сладкими и вкусными для вредителей. Само растение слабеет — отсюда и другие проблемы. Исправить положение можно дополнительным внесением калия, лучше в виде золы, так как там есть и фосфор, и микроудобрения. Попробуйте ежегодно вносить (можно весной) ведро золы под 1 дерево — ситуация резко изменится: листья при избытке калия становятся грубыми и «невкусными» для насекомых. Потом количество вносимой зола надо уменьшить. 
Про трещины на коре разговор особый. Причин может быть много, самая вероятная — перепады температур рано весной. Не на южной ли стороне появляются трещины? Если да, то осенью прислоните к стволу доску, она защитит его от яркого весеннего солнца (днем сильно нагревается, ночью остывает — вот и довольно значительный перепад температур).
Грибы на стволе. Обычно они селятся на деревьях старых и ослабленных. Сколько лет Вашей сливе? Обычно эта культура не относится к долгожителям. Может, пришло время подыскать ей замену?! 

Ну начнем по порядку. Тля легко убирается такими препаратами, как Актара и Хостаквик. Или убрать муравьев, которые тлю охраняют. Второе — слива, не долговечное дерево, не устойчивое, часто вымерзает. Ваше дерево не в лучшей форме, оно болеет, на нем грибы трутовики, и не только тля в этом виновата. Дерево поросль дает? Поддержу Марианну, наверное пора готовить замену. Понятно, что это процесс не одного года. Удачи.

Столько проблем на несчастное дерево. Вообще, вредители и болезни бросаются на ослабленные растения. Трещины на коре могут образовываться, если на дереве долго оставляют заплатки из садового вара — под ним начинает гнить и потихоньку отслаиваться кора, осенью туда попадает влага, зимой во время постоянных оттепелей-морозов это место разрывает. А на рану уже с удовольствием садятся трутовики. Согласна с предыдущими комментаторами, сажайте новое на замену. Что можно сделать со старым: во-первых, не слишком ли близко грунтовая вода? Может, дерево сидит в низинке, и ему подтапливает корни? Тогда его уже точно не откачать. А вообще, надо заровнять все задиры на коре до живой ткани и зачистить трутовики. Везде, где во время зачистки показался камбий (зелёненькое под корой), замазать смесью глины и коровяка (на худой конец, просто глиной). Во время наклёвывания почек намазать ствол внизу клеем от насекомых, и если есть всякие опоры, по которым муравьи полезут вверх, так же их обмазать внизу клеем, чтобы не оставить паразитам ни шанса. Когда распустятся почки, прокарбовать — т.е. сделать две вертикальные прорези на коре снизу доверху и замазать всё той же глиной с навозом. Это простимулирует нарастание молодой древесины. Счистить весь старый садовый вар и в дальнейшем пользоваться вместо него раннетом (или наносить вар правильно — растопленный, на просохший срез, как бы лакируя, чтобы воск впитывался в древесину). Уничтожить гнёзда муравьёв под деревом. Подсеять фацелию вокруг дерева — когда она цветёт, на неё слетаются все хищные насекомые со всей округи и знатно прореживают случайно забравшихся тлюшек. Позаботиться о подкормке; самый простой и при этом результативный способ — по периферии кроны сделать канавку, заложить в неё свежескошенной травы и надранной молодой крапивы, укрыть вынутой землёй. Словом, надо сделать всё, чтобы древесина нарастала быстрее, чем её ел трутовик. В этом случае слива ещё несколько лет протянет.