Посоветуйте, что делать с запущенным участком?

Татьяна, давайте попробуем рассмотреть варианты. Как я понимаю, в первую очередь для Вас важно, чтобы участок не зарастал бесконтрольно сорняками. И в этом случае решение засеять его какой-либо неприхотливой культурой — разумный и рациональный выход. Если Вы планируете использовать в этом качестве амаранты, рискну предположить, что климат в ваших краях довольно мягкий? У нас, к примеру, эту культуру обычно выращивают через рассаду, и использовать ее в роли замещающей на больших площадях проблематично. Если так — присмотритесь еще к люцерне; у меня не было возможности испытать ее «в деле», поскольку в наших краях ее не культивируют, но слышала много положительных отзывов о ее свойствах как сидерата и замещающей культуры. 
Вторая проблема — вьюн. Избавиться от него — очень непростая задача, и у меня, например, нет уверенности, что амарант сможет вытеснить этот сорняк (надеюсь, дачники-южане поделятся своими соображениями по этому поводу). Как вариант, я бы предложила рассмотреть сплошное мульчирование (черной пленкой, картоном и тому подобными материалами).
Конечно, этот способ требует определенных затрат (хотя тот же картон, к примеру, можно найти совершенно бесплатно — магазины выбрасывают огромное количество картонной тары). Но это вполне реальный способ избавиться от имеющихся сорняков и не пустить на пустующую территорию новые. Даже вьюн без доступа света и воздуха погибает, хоть и не так быстро, как прочие сорные растения (но как раз время, насколько я понимаю, есть — Вы ведь не планируете в ближайший сезон обрабатывать участок и размещать на нем посадки?).