Можно ли под теплую грядку стелить пленку полиэтиленовую, чтобы держала воду и меньше сохли грядки?

А что будете делать ранней весной или осенью? Или если лето будет дождливым? Дренаж все равно какой-то нужен, а тогда смысл в пленке?

Не удержит. Непременно будут проколы. Грядку теплую делают из растительного мусора или навоза, которые содержат твердые соломины, шипы и прочее подобное, что непременно нарушат целостность полиэтилена.
Чтобы удержать воду, нужно не подстилать полиэтилен под грядку, а делать из него нечто похожее на хотя бы низенькое корыто. Чтобы вода скапливалась и хранилась в емкости. Вот тут дожди ( при неповрежденном полиэтилене) приведут к вымоканию корней.
Да и корни уходят в глубину, не надо им мешать. 

Чтобы у растений была влага, надо просто класть мульчу толстым слоем, сантиметров 7-10 для северных регионов и 10-15 для южных. А полиэтилен сперва превратит грядку в болото, а потом сгниёт и порвётся в первую же зиму.