Как правильно сделать фундамент, чтобы не повредить корни растущих рядом лиственницы и сосны?

 
Целесообразнее всего  Вам сделать пристройку из легких конструкций, по каркасной технологии.  Это современно, тепло, бюджетно, красиво, и быстровозводимо. Если Вы предпочтете такой вариант, то  Вам вполне хватит 5 свай расположенных в ряд на расстоянии 2 м от прежнего фундамента. А 0,5 метра (2,5м минус 2,0м) пристройки будут «парить» в воздухе, подобно тому, как выглядят веранды в южных регионах. Полуметровая несущая консоль выполненная из приличной балки (швеллер или двутавр №14 или №16 ) вполне выдержит нагрузку от каркасной одноэтажной стены.
 Сваи «по-домашнему» выполняются следующим образом. Садовым буром  делается отверстие в грунте диаметром 200 мм и глубиной до 2 метров. Все таки, на расстоянии 2 метров от стволов надеюсь, вы найдете точки без серьезных корней. Затем в отверстие опускается пластмассовая  канализационная труба того же наружного диаметра. Она будет играть роль несъемной опалубки. Далее в трубу опускают арматурный проволочный каркас в виде трубы и порционно заливают бетонной смесью марки не ниже М250. Разумеется, смесь требуется уплотнить тонким глубинным вибратором. Если такового поблизости не обнаружиться, то энергично займитесь штыкованием раствора хотя бы арматурным прутком диаметром 10-12 мм. Лучше это делать послойно, в вашем случае через каждые 60-70 см по высоте отверстия.  Не лишним будет напомнить, что до начала твердения бетона, следует в него заложить анкерные болты, к которым после можно прикрутить опоры для несущих лаг. Такого рода фундамент вовсе не нарушит корневую систему ваших деревьев!
Иной вариант – использование специальных винтовых свай. Диаметр их примерно тот же -200 мм. То есть та же вероятность все таки попасть частично на корневую систему соседних деревьев.   Но первый метод мне нравится больше, так как в нем по определению отсутствует процесс коррозии  металла.

Дополню комментарий Олега. Из за не монолитности фундамента, пристрои — грешат отхождением от стен основного здания, со временем появляется щель. Все происходит из за того, что новый фундамент, дает усадку против старого. Чтобы избежать этого, предусмотрите на опорной площадке фундамента или сваи — винтовую опору, которая даст возможность отрегулировать возможность устранения этого дефекта, особенно в сочетании с каркасной конструкцией, о чем выше посоветовал вам Олег. 

Крайне дельное замечание. Действительно, винтовые опоры на несущих конструкциях тут окажуться, как нигде, кстати.