Почему "заваливается" рассада баклажанов?

Здравствуйте. Причины, наверное, две. Очень тепло и рассада перерастает. И Вы слишком часто и обильно поливаете, поэтому корневая система на развивается. Попробуйте поливать крайне редко, до подвядания листьев. И попробуйте по ночам снизить температуру. Если сие возможно. Удачи.

Поливы не частые и не обильные. Стараюсь, чтобы почва сильно не пересыхала. А насчет тепла, то да, температуру понизить нет возможности.

Проблемой является восточное окно.

Вы написали, что всходы не пикируете, скорее всего, это главная причина. Пикировать надо, как правило, на втором настоящем листочке, присыпая грунтом по первые листья.

Не вижу ничего страшного в данной проблеме. Думаю, что с грунтом все в порядке. Согласна, с написавшими выше комментаторами, что не хватает света, что есть недочеты в агротехнике из-за имеющихся условий.
Если вам так удобно и нет возможности изменить ситуацию, помогите рассаде, не дайте ей упасть. Просто подвяжите ее к «колышкам» вовремя, заранее.
Ко времени высадки в грунт стебель немного утолщится и окрепнет, рассада перестанет заваливаться.

У меня такая же «проблема», хоть и лоджия на южной стороне, и ночью температура умеренная, легко регулируемая. А вот днем солнце так пригревает, что приходится держать рассаду чуть ли не на полу, чтобы не привядала и, чтобы избежать быстрого пересыхания земляного кома и, следовательно, обильного и частого полива. Вот из этих тонкостей и складываются все неудобства, которые ведут к дисбалансу в росте.
Я для устойчивости рассады использую бамбуковые шампуры.
Рассада баклажанов с бамбуковыми шампурами, апрель 2016 г.