Подскажите, пожалуйста, как бороться с березкой (вьюнок полевой)?

Экологический способ борьбы — только выкапывать и сжигать корневище. Бросите просто на помойку — обязательно прорастет.
Химия есть химия, сами решайте применять ли её 

         Особенно досаждают садоводу многолетние корнеотпрысковые сорняки как осоты, молочай, вьюнок полевой, сныть, и корневищные, как пырей ползучий, свинорой и другие. Сколько бы садовод их не пропалывал, они все растут и растут. Против них трудно применять и химические средства, так как в саду обычно растут растения, принадлежащие к различным видам и семействам, зачастую к тем же, что и сорняки. Поэтому остановлюсь о способах борьбы с ними. Главное: борьбу с ними надо начинать с весны и работать очень кропотливо.
При борьбе с корнеотпрысковыми сорняками, в том числе с вьюнком полевым, я применяю метод истощения. Хитрость (эффективность) метода заключается в том, что проростки таких сорняков в течение лета надо удалять, как только они появляются на поверхности почвы, не давая им развить зеленую листовую массу (листья). Повторяю, главное при применении этого метода: уничтожение их до того, как они успеют распустить листья. Дело в том, что многолетние сорняки, прорастая из глубины, используют запасы питательных веществ, которые накоплены в корнях. Пока росток сорняка прорастает, поднимется на поверхность почвы, корень истощается, становится тоньше. Но как только появляются листья, они включаются в работу: начинается фотосинтез, пополнение истощенных питательных веществ и корень снова набирает силу, снова утолщается. В этом случае, можно пропалывать все лето, и каждый год и мы их не уничтожим. Если же мы лопатой  или совочком удалим только что появившийся ещё белый росток (шильце), не давая ему зазеленеть, притом, глубже прихватив корень,  то не успевший накопить силу корень, при повторном росте проростка истощается ещё сильнее и, выпустив ещё один- два раза шильца совсем теряет силу и погибает. То есть весь смысл истощения состоит в том, что такие сорняки надо полоть несколько раз до того, как они успеют развить зелёные листья. Обычно за один год не удается уничтожить многолетние сорняки на всем участке – работа эта трудоемкая и кропотливая. Поэтому в один год полностью освобождаю небольшую часть участка, в следующие годы постепенно искореняю на других участках. Хочу подчеркнуть и об второй особенности искоренения: если начали уничтожать их на каком-то участке, то надо искоренить полностью, до единого сорняка. Если же останется даже слабенький росток таких сорняков, они довольно быстро снова наберут силу и размножатся снова. Таким образом, эта работа требует аккуратности и кропотливости.
Если вьюнок растет не на овощных грядках, то можно применять и гербициды.  Очень эффективен против него аминная соль 2,4-Д, но я его в продаже в садово-огородных магазинах не вижу. Хорошо работает против него: Торнадо, Ураган, Раундап, если они содержат действующего вещества по положенной норме. Использовать надо строго по инструкции и вьюнок хорошо облиственен.

         Особенно досаждают садоводу многолетние корнеотпрысковые сорняки как осоты, молочай, вьюнок полевой, сныть, и корневищные, как пырей ползучий, свинорой и другие. Сколько бы садовод их не пропалывал, они все растут и растут. Против них трудно применять и химические средства, так как в саду обычно растут растения, принадлежащие к различным видам и семействам, зачастую к тем же, что и сорняки. Поэтому подробнее остановимся о способах борьбы с ними. Главное: борьбу с ними надо начинать с весны и работать очень кропотливо.
При борьбе с корнеотпрысковыми сорняками, в том числе с вьюнком полевым, я применяю метод истощения. Хитрость (эффективность) метода заключается в том, что проростки таких сорняков в течение лета надо удалять, как только они появляются на поверхности почвы, не давая им развить зеленую листовую массу (листья). Повторяю, главное при применении этого метода: уничтожение их до того, как они успеют распустить листья. Дело в том, что многолетние сорняки, прорастая из глубины, используют запасы питательных веществ, которые накоплены в корнях. Пока росток сорняка прорастает, поднимется на поверхность почвы, корень истощается, становится тоньше. Но как только появляются листья, они включаются в работу: начинается фотосинтез, пополнение истощенных питательных веществ и корень снова набирает силу, снова утолщается. В этом случае, можно пропалывать все лето, и каждый год и мы их не уничтожим. Если же мы лопатой  или совочком удалим только что появившийся ещё белый росток (шильце), не давая ему зазеленеть, притом, глубже прихватив корень,  то не успевший накопить силу корень, при повторном росте проростка истощается ещё сильнее и, выпустив ещё один- два раза шильца совсем теряет силу и погибает. То есть весь смысл истощения состоит в том, что такие сорняки надо полоть несколько раз до того, как они успеют развить зелёные листья. Обычно за один год не удается уничтожить многолетние сорняки на всем участке – работа эта трудоемкая и кропотливая. Поэтому в один год полностью освобождаю небольшую часть участка, в следующие годы постепенно искореняю на других участках. Хочу подчеркнуть и об второй особенности искоренения: если начали уничтожать их на каком-то участке, то надо искоренить полностью, до единого сорняка. Если же останется даже слабенький росток таких сорняков, они довольно быстро снова наберут силу и размножатся снова. Таким образом, эта работа требует аккуратности и кропотливости.
Если вьюнок растет не на грядках, можно применять и гербициды. Очень хорошо против него работает Аминная соль 2,4-Д, но я его в продаже не встречал. Хорошо работают против него и Раундап, и Торнадо, и Ураган, если изготовлены по стандарту, содержат положенное количество действующего вещества, а вьюнок хорошо облиственен и использовать по инструкции.

Дополню Франса Хасановича, вернее его прекрасное пояснение.  Борьба культивациями с растениями с развитой верхней частью конечно же действенна. Напомню, что корень при этом надо «глубоко» подрезать. Но не все могут выдержать 10 и более целевых культиваций и повторные работы следующих сезонов. Бороться с вьюнком даже химикатами очень тяжело, поскольку «запасы» под землей, а структуры епидермиса очень прочные (восковой налет листка — кутикулу — надо растворить для начала действия препарата). Повторюсь из предыдущего комментария, что в борьбе с этим сорняком стоит попробовать Старане Премиум. Его аграрники использовали и довольно сильно нахваливали.