Подскажите, пожалуйста, как правильно устроить грядки?

Грядки лучше расположить рядами, параллельно друг другу с такими проходами, чтобы прошла газонокосилка (тачка). А центральный проход — в два раза шире. В центре огорода лучше ничего не размещать, это будет неудобно. И картон вниз класть не нужно, у растений могут гнить корни от него. Прилагаю фото своих грядок, тут видно,

как соединены доски для прочности.

Ирина, в целом, насколько я понимаю, Вы уже теоретически неплохо подготовились  Так что повторяться не буду, только на всякий случай приведу несколько ссылок на полезные статьи нашего сайта по интересующей Вас теме (может быть, что-то из них Вам пока не попалось на глаза):
Ограждения для грядок: зачем, из чего и как
Сооружаем теплые грядки своими руками
Создаем поднятую грядку своими руками
Как лучше «огород городить»: идеи и советы от практиков 
Вертикальные грядки: плюсы и минусы
Высокая грядка  и мини-парник в одном флаконе 

От себя еще добавлю: если предполагается использовать насыпную почву и размещать грядки поверх травы, лучше на дно действительно положить слой картона, чтобы наверняка заглушить рост сорняков. Веточки в качестве дренажного слоя для таких грядок тоже не повредят. 
А в остальном я бы предложила ориентироваться на удобство тех, кто будет этими грядками пользоваться (это если говорить о ширине грядок и междурядий, их длине, высоте и прочих «технических» параметрах). 

По поводу устройства вертикальных грядок в центре уч-ка.Мое мнение: нежелательно, лучше ближе к дорожке, т.к детям будет неудобно подходить к ним.